Le leggi di Keplero

Il significato delle leggi di Keplero è ben descritto nei loro enunciati, così come si possono trovare in un qualsiasi libro di testo:

1. Prima Legge, o legge delle orbite ellittiche:

“L’orbita descritta da un pianeta è un’ellisse, di cui il Sole occupa uno dei due fuochi”

2. Seconda Legge, o legge delle aree:

“Il raggio vettore che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali”

3. Terza Legge, o legge dei periodi:

“Il quadrato del tempo che ogni pianeta impiega a percorrere le propria orbita è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’ellisse descritta”

Tutto qui? Sì… proprio come la Gioconda di Leonardo potrebbe essere descritta come un piccolo dipinto che raffigura una ragazza con le braccia conserte e un mezzo sorriso.

In realtà, dietro a entrambe queste opere dell’ingegno umano vi è molto di più. Per quanto riguarda le leggi di Keplero, oltre alla valenza astronomica, la loro importanza si estende a molteplici campi, come ad esempio:

• la matematica classica (geometrica e trigonometrica)
• la fisica (per come hanno ispirato la Legge di gravitazione universale di Newton, e per come sono chiari esempi della conservazione di grandezze fisiche, come l’energia ed il momento angolare)
• il calcolo differenziale o infinitesimale (ideato sempre da Newton, e da Leibniz, proprio per risolvere quelle leggi del moto),
• la filosofia, così come la storia del progresso umano.

Quello che viene qui presentato non ha la pretesa di essere un “corso”, ma piuttosto un “percorso” che, con lo spunto di imparare a conoscere meglio il significato di queste tre leggi, andrà a toccare molti concetti matematici e fisici. Al contempo, sarà l’occasione per affrontare sfide di programmazione per problemi via via più complessi. A questo scopo verrà utilizzato il linguaggio Scratch, certo non il più veloce ed efficiente per il calcolo numerico, ma con grossi pregi quali l’approccio intuitivo al coding e la facilità di gestire interfacce interattive.

Alle varie tappe di questo percorso saranno associati programmi, non solo da eseguire passivamente, ma il cui codice dovrebbe essere letto e specialmente compreso (per questo cercheremo di renderli più comprensibili, con qualche commento esplicativo) e, nelle nostre intenzioni, questi programmi dovrebbero anche essere utilizzati come punti di partenza per esperimenti di coding.

Ecco le tappe, una dopo l’altra, con i codici per svolgerle:

• Tracciare un’ellisse, centrata rispetto all’incrocio dei propri assi. Identificare alcuni elementi costitutivi di un’ellisse (asse maggiore, asse minore, eccentricità, distanza focale). 
• Tracciare un’ellisse, centrata rispetto a uno dei suoi fuochi. Identificare altri elementi dell’orbita (semilato retto), descrivere le relazioni fra di essi e rispetto ad alcune grandezze dinamiche, nel caso di un’orbita.
• Calcolare il moto orbitale di un pianeta attorno a una stella, calcolando le equazioni dinamiche, prima usando un algoritmo più semplificato, e poi uno più sofisticato (metodo Runge-Kutta). Il calcolo di varie grandezze dinamiche e geometriche consente una serie di test, come ad esempio sulla costanza di energia totale e momento angolare, e sulla effettiva dipendenza dei parametri dell’orbita dalle costanti fisiche, in accordo con le formule introdotte nel passo precedente.

Passi futuri (work in progress)

• Calcolo dinamico dei moti orbitali di due corpi con masse confrontabili. Introduzione del concetto di centro di massa, e di massa ridotta del sistema.
  
• Confronto fra la legge di attrazione gravitazionale, che scala con la distanza radiale come 1/R², e leggi che scalano come 1/Rⁿ, con n diverso da 2. Analisi della precessione del perielio, nonché della stabilità dell’orbita (orbite che raggiungono la stella centrale).
  
• Riduzione del problema dell’orbita ad un problema in 1 dimensione. Introduzione del concetto di Potenziale Efficace, e sua estensione a casi con n diverso da 2.
• Le orbite aperte: paraboliche ed iperboliche.
• Impatto di meteoriti sulla Terra. Dipendenza della sezione d’urto terrestre a seconda della velocità relativa.
• Moto sotto l’effetto gravitazione di due corpi maggiori: le orbite di pianeti attorno ad un sistema stellare binario; le orbite un satellite soggetto all’attrazione della stella e di un pianeta (punti lagrangiani; gli asteroidi greci e troiani).
• Moti di 2 pianeti intorno ad una stella, e perturbazione reciproca delle loro orbite.
• Satelliti pastori e gli anelli di Saturno.
• Moti “non”-gravitazionali. La doppia coda delle comete.
• Viaggio di un razzo in un sistema stella + pianeta.
• L’effetto fionda gravitazionale.